Урок «Построение касательных к окружностям»

Геометрические построения

Построение касательных к окружностям

Рассмотрим задачу, лежащую в основе решения других задач на проведение касательных к окружностям.

Пусть из точки А (рис. 1) необходимо провести касательные к окружности с центром в точке О.

Для точного построения касательных необходимо определить точки касания прямых к окружности. Для этого точку А следует соединить сточкой О и разделить отрезок ОА пополам. Из середины этого отрезка – точки С, как из центра, описать окружность, диаметр которой должен быть равен отрезку ОА. Точки К1 и К2 пересечения окружностей с центром в точке С и с центром в точке О являются точками касания прямых АК1 и АК2 к заданной окружности.

Правильность решения поставленной задачи подтверждается тем, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной к окружности. Углы ОК1А и ОК2А являются прямыми, поскольку опираются на диаметр АО окружности с центром в точке С.

Рис. 1.

При построении касательных к двум окружностям различают касательные внутренние и внешние. Если центра заданных окружностей располагаются по одну сторону от касательной, то ее считают внешней, а если центры окружностей находятся по разные стороны от касательной, - внутренние.

Пусть заданы две окружности с центрами в точках О1 и О2 (рис. 2), имеющие радиусы соответственно R1 и R2. Требуется провести внешние касательные к заданным окружностям.

Для точного построения следует определить точки касания прямых и заданных окружностей. Если радиусы окружностей с центрами О1 и О2 начать последовательно уменьшать на одно и то же значение, то можно получить ряд концентрических окружностей меньших диаметров. При этом в каждом случае уменьшения радиуса касательные к меньшим окружностям будут параллельны искомым. После уменьшения обоих радиусов на размер меньшего радиуса R2 окружность с центром О2 обратится в точку, а окружность с центром О1 преобразится в концентрическую окружность радиусом R3, равным разности радиусов R1 и R2.

Используя описанный ранее способ, из точки О2 проведем внешние касательные к окружности радиусом R3, соединим точки О1 и О2, разделим точкой С отрезок О1О2 пополам и проведем радиусом СО1 дугу, пересечение которой с заданной окружностью определит точки касания прямых О2К1 и О2К2.

Точка А1 и А2 касания искомых прямых с большей окружностью располагается на продолжении прямых О1К1 и О1К2. Точки В1 и В2 касания прямых с меньшей окружностью находятся на перпендикулярах с основанием О2 соответственно к вспомогательным касательным О2К1 и О2К2. Располагая точками касания можно провести искомые прямые А1В1 и А2В2.

Рис. 2.

Пусть заданы две окружности с центрами в точках О1 и О2 (рис. 2), имеющие радиусы соответственно R1 и R2. Требуется провести внутренние касательные к заданным окружностям.

Для определения точек касания прямых с окружностями используем рассуждения, аналогичные приведенным при решении предыдущей задачи. Если уменьшить радиус R2 до нуля, то окружность с центром О2 обратиться в точку. Однако в этом случае для сохранения параллельности вспомогательных касательных с искомыми радиус R1 следует увеличить на размер R2 и провести окружность радиусом R3, равным сумме радиусов R1 и R2.

Из точки О2 проведем касательные к окружности радиусом R3, для чего соединим точки О1 и О2, разделим точкой С отрезок О1О2 пополам и проведем дугу окружности с центром в точке С и радиусом СО1. Пересечение дуги с окружностью радиусом R3 определит положение точек К1 и К2 касания вспомогательных прямых О2К1 и О2К2.

Точка А1 и А2 касания искомых прямых с окружностью радиусом R1 находится на пересечении этой окружности с отрезком О1К1 и О1К2. Для определения точек В1 и В2 касания искомых прямых с окружностью радиусом R2 следует из точки О2 восставить перпендикуляры к вспомогательным прямым О2К1 и О2К2 до пересечения с заданной окружностью. Располагая точками касания искомых прямых и заданных окружностей, проведем прямые А1В1 и А2В2.

Рис. 3.